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オペアンプを使った積分回路

回路図

オペアンプ(演算増幅器)を使った積分回路を下図に示します。反転増幅回路の帰還抵抗 \(R_f\) をコンデンサ \(C\) で置き換えた形をしています。

オペアンプを使った積分回路

計算

積分回路の入力電圧を \(v_1\),出力電圧を \(v_2\) とします。 抵抗 \(R\) に流れる電流を \(i\) とすると,理想的なオペアンプの入力端子には電流が流れないので,コンデンサ \(C\) に流れる電流も \(i\) です。 このとき,抵抗 \(R\) の両端に発生する電圧を \(v_R\),コンデンサ \(C\) の両端に発生する電圧を \(v_C\) とします。

オペアンプの入力端子間にバーチャルショート(仮想短絡)を仮定すると,反転入力端子の電位は \(\rm 0\) です。 よって,次の式が成り立ちます。 $$ v_1 = v_R = i R $$ これから, $$ i = \frac{v_1}{R} $$ です。 また, $$ v_2 + v_C = 0 $$ も成り立つので, $$ v_2 = - v_C $$ です。ここで,\(v_C\) はコンデンサ \(C\) に蓄えられている電荷 \(q\) を使って次式で表すことができます。 $$ v_C = \frac{q}{C} $$ さらに,コンデンサに蓄えられた電荷 \(q\) はコンデンサに流れた電流 \(i\) を積分したものなので,\(t=0\) における電荷を \(0\) とすると,次式で表せます。 $$ q(t) = \int_0^t i(t) dt $$ 以上から, $$ v_2(t) = - v_C(t) = -\frac{q(t)}{C} = -\frac{1}{C} \int_0^t i(t) dt = -\frac{1}{C} \int_0^t \frac{v(t)}{R} dt $$ となって,結局 $$ v_2(t) = -\frac{1}{CR} \int_0^t v_1(t) dt $$ と書けます。つまり,積分回路はその名の通り,出力電圧 \(v_2\) が入力電圧 \(v_1\) を積分したものに比例します。

入力電圧が一定の場合

特別な場合として,入力電圧 \(v_1\) が時間によらず一定の場合を考えてみます。 $$ v_1(t) = V_1 $$ とすると, $$ v_2(t) = -\frac{1}{CR} \int_0^t V_1 dt = -\frac{V_1}{CR}t $$ と書けます。つまり,出力電圧は傾きが \(-\frac{V_1}{CR}\) の直線状になります。